Question

已知函数f(x)＝aln x＝(a为常数)．

(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线x＋2y－5＝0垂直，求a的值；

(2)求函数f(x)的单调区间；

(3)当x≥1时，f(x)≤2x－3恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

解　(1)函数f(x)的定义域为{x|x＞0}，f′(x)＝.

又曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线x＋2y－5＝0垂直，

所以f′(1)＝a＋1＝2，即a＝1.(4分)

(2)由f′(x)＝ (x＞0)，

当a≥0时，

f′(x)＞0恒成立，所以f(x)的单调增区间为(0，＋∞)．

当a＜0时，

由f′(x)＞0，得0＜x＜－，

所以f(x)的单调增区间为；

由f′(x)＜0，得x＞－，

所以f(x)的单调减区间为

(3)设g(x)＝aln x－－2x＋3，x∈[1，＋∞)，

令h(x)＝－2x²＋ax＋1，考虑到h(0)＝1＞0，

当a≤1时，

h(x)＝－2x²＋ax＋1的对称轴x＝＜1，

h(x)在[1，＋∞)上是减函数，h(x)≤h(1)＝a－1≤0，

所以g′(x)≤0，g(x)在[1，＋∞)上是减函数，

所以g(x)≤g(1)＝0，即f(x)≤2x²－3恒成立．

当a＞1时，

令h(x)＝－2x²＋ax＋1＝0，

当x∈[1，x₁)时，h(x)＞0，即g′(x)＞0，

g(x)在[1，x₁)上是增函数；

当x∈(x₁，＋∞)时，h(x)＜0，即g′(x)＜0，

g(x)在(x₁，＋∞)上是减函数．

所以0＝g(1)＜g(x₁)，即f(x₁)＞2x₁－3，不满足题意．

综上，a的取值范围为a≤1.(16分)