Question

（12分）
已知四棱锥中，平面，底面是直角梯形，为的重心，为的中点，在上，且；

（1）求证：；
（2）当二面角的正切值为多少时，
平面；
（3）在（2）的条件下，求直线与平面所成角
的正弦值；

Answer 1

(1)略
(2) 当二面角P-CD-A的正切值为2时，FG⊥平面AEC
(3)

（1）连结CG并延长交PA于H，连结BH
∵G是△PAC的重心    ∴CG:GH="2:1  "
∵CF:FB="2:1   " ∴CG:GH=CF:FB   ∴FG∥BH
∵PA⊥平面ABCD   ∴PA⊥AC   ∴AC⊥平面PAB
∴    AC⊥BH  ∵FG∥BH  ∴FG⊥AC ------------4分
（2）如图所示，以A为坐标原点建立空间直角坐标系

∵AB=AC=2且AB⊥AC ∴∠ACB=45° 在直角梯形ABCD中  
∵∠BCD=90°   ∴∠ACD=45°∵AC="2   " ∴AD=CD=   
∵PA⊥平面ABCD   ∴PA⊥CD   ∵CD⊥AD   ∴CD⊥平面PAD
∴CD⊥PD   ∴∠PDA为二面角P-CD-A的平面角
∴A(0,0,0)  C(,,0)  D(0,,0)  B(,,0)
设P(0,0,) ∴H(0,0,)  E(,,)  
∵FG⊥平面AEC   ∴FG⊥AE∵FG∥BH   ∴BH⊥AE
∴=(,,)   =(,,)
∴   ∴   ∴PA= 
∴∠PDA="2 " ∴当二面角P-CD-A的正切值为2时，FG⊥平面AEC   ------8分
（3）∵BH∥FG   ∴FG与平面PBC所成的角等于BH与平面PBC所成的角
∵=（，，） =（0，，0） =（，，）
设平面PBC的法向量=(x,y,z)   ∴   ∴ 令z="1 " ∴=(2,0,1)
∴   设直线FG与平面PBC所成的角为
∴   ∴直线FG与平面PBC所成的角的正弦值为 --12分