Question

已知与向量=（1，）平行的直线l₁过点A（0，-2），椭圆C：=1（a＞b＞0）的中心关于直线l₁的对称点在直线x=（c²=a²-b²）上，且直线l₁过椭圆C的焦点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点B（-2，0）的直线l₂交椭圆C于M，N两点，若∠MON≠，且•sin∠MON=，（O为坐标原点），求直线l₁₂的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意得直线l₁的方程和过原点垂直于l₁的直线方程，两个方程联立求得交点的横坐标，根据椭圆中心O（0，0）关于直线l₁的对称点在直线x=上，进而求得a和c的关系，进而根据直线l₁求得椭圆的焦点，求得c，则a和b可求得，进而得到椭圆的方程．
（2）当直线l₁的斜率存在时，设直线l₁的方程代入椭圆方程，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）利用韦达定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，进而表示出|MN|，进而利用点到直线的距离求得坐标原点O到直线l₂的距离根据（•）•sin∠MON=求得三角形MON的面积，把|MN|和d代入求得k；当直线l₂的斜率不存在时，直线l₂的方程为x=-2，综合答案可得．
解答：解（Ⅰ）由题意得直线l₁的方程为y=x-2，①
过原点垂直于l₁的直线方程为y=-x②
解①②得：x=
因为椭圆中心O（0，0）关于直线l₁的对称点在直线x=上，
∴=3
又∵直线l₁过椭圆焦点，∴该焦点坐标为（2，0），
∴c=2，a²=6，b²=2
故椭圆C的方程为=1③
（II）当直线l₁的斜率存在时，
设直线l₁的方程为y=k（x+2），代入③并整理得：
（3k²+1）x²+12k²x+12k²-6=0
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
则x₁+x₂=-，x₁x₂=
∴|MN|=|x₁-x₂|==
坐标原点O到直线l₂的距离d=．
∵（•）•sin∠MON=，即S_△MON=
而S_△MON=||MN|d
∴|NM|d=，即=
解得k=±，此时直线l₂的方程为y=±（x+2）
当直线l₂的斜率不存在时，直线l₂的方程为x=-2
此时点M（-2，），N（-2，-），满足S_△MON=，
综上得，直线l₂的方程为x=-2或±y+2=0．
点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．在设直线方程的时候，一定要考虑斜率不存在时的情况，以免答案不全面．