Question

已知与向量

e

=（1，

3

）平行的直线l₁过点A（0，-2

3

），椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的中心关于直线l₁的对称点在直线x=

a2

c

（c²=a²-b²）上，且直线l₁过椭圆C的焦点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点B（-2，0）的直线l₂交椭圆C于M，N两点，若∠MON≠

π

2

，且（

OM

•

ON

）•sin∠MON=

4 6

3

，（O为坐标原点），求直线l₁₂的方程．

Answer 1

分析：（1）由题意得直线l₁的方程和过原点垂直于l₁的直线方程，两个方程联立求得交点的横坐标，根据椭圆中心O（0，0）关于直线l₁的对称点在直线x=

a2

c

上，进而求得a和c的关系，进而根据直线l₁求得椭圆的焦点，求得c，则a和b可求得，进而得到椭圆的方程．
（2）当直线l₁的斜率存在时，设直线l₁的方程代入椭圆方程，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）利用韦达定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，进而表示出|MN|，进而利用点到直线的距离求得坐标原点O到直线l₂的距离根据（

OM

•

ON

）•sin∠MON=

4 6

3

求得三角形MON的面积，把|MN|和d代入求得k；当直线l₂的斜率不存在时，直线l₂的方程为x=-2，综合答案可得．

解答：解（Ⅰ）由题意得直线l₁的方程为y=

3

x-2

3

，①
过原点垂直于l₁的直线方程为y=-

3

3

x②
解①②得：x=

3

2

因为椭圆中心O（0，0）关于直线l₁的对称点在直线x=

a2

c

上，
∴

a2

c

=3
又∵直线l₁过椭圆焦点，∴该焦点坐标为（2，0），
∴c=2，a²=6，b²=2
故椭圆C的方程为

x2

6

+

y2

2

=1③
（II）当直线l₁的斜率存在时，
设直线l₁的方程为y=k（x+2），代入③并整理得：
（3k²+1）x²+12k²x+12k²-6=0
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
则x₁+x₂=-

12k2

3k 2+1

，x₁x₂=

12k2-6

3k 2+1

∴|MN|=

1+k．2

|x₁-x₂|=

1+k．2

(x1+x2)2-4x1x2

=

2 6 (1+k2)

3k 2+1

坐标原点O到直线l₂的距离d=

|2k|

1+k2

．
∵（

OM

•

ON

）•sin∠MON=

4 6

3

，即S_△MON=

2 6

3

而S_△MON=

1

2

||MN|d
∴|NM|d=

4 6

3

，即

2 6 (1+k2)

3k 2+1

|2k|

1+k2

=

4 6

3

解得k=±

3

3

，此时直线l₂的方程为y=±

3

3

（x+2）
当直线l₂的斜率不存在时，直线l₂的方程为x=-2
此时点M（-2，

6

3

），N（-2，-

6

3

），满足S_△MON=

2 6

3

，
综上得，直线l₂的方程为x=-2或±

3

y+2=0．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．在设直线方程的时候，一定要考虑斜率不存在时的情况，以免答案不全面．