Question

2．已知x${\;}^{\frac{1}{2}}$+x${\;}^{-\frac{1}{2}}$=3，求下列各式的值：
（1）x+x^-1；
（2）$\frac{{x}^{\frac{3}{2}}+{x}^{-\frac{3}{2}}+2}{{x}^{2}+{x}^{-2}+3}$．

Answer 1

分析 （1）利用x+x^-1=$（{x}^{\frac{1}{2}}+{x}^{-\frac{1}{2}}）^{2}$-2，即可得出．
（2）利用x²+x^-2=（x+x^-1）²-2，${x}^{\frac{3}{2}}+{x}^{-\frac{3}{2}}$=$（{x}^{\frac{1}{2}}+{x}^{-\frac{1}{2}}）$（x+x^-1-1），即可得出．

解答 解：（1）∵x${\;}^{\frac{1}{2}}$+x${\;}^{-\frac{1}{2}}$=3，∴x+x^-1=$（{x}^{\frac{1}{2}}+{x}^{-\frac{1}{2}}）^{2}$-2=3²-2=7．
（2）∵x²+x^-2=（x+x^-1）²-2=7²-2=47，
${x}^{\frac{3}{2}}+{x}^{-\frac{3}{2}}$=$（{x}^{\frac{1}{2}}+{x}^{-\frac{1}{2}}）$（x+x^-1-1）=3×（7-1）=18．
∴$\frac{{x}^{\frac{3}{2}}+{x}^{-\frac{3}{2}}+2}{{x}^{2}+{x}^{-2}+3}$=$\frac{18+2}{47+3}$=$\frac{2}{5}$．

点评 本题考查了根式的运算性质、乘法公式，考查了变形能力、计算能力，属于中档题．