题目内容
10.已知函数f(x)=x+$\frac{a}{x}$(α>0).(1)证明:f(x)在区间(0,$\sqrt{a}$]上为减函数,在[$\sqrt{a}$,+∞) 上为增函数;
(2)求f(x)在区间(0,+∞)上的最小值.
分析 (1)求导数f′(x)=$\frac{{x}^{2}-a}{{x}^{2}}$,根据导数符号即可得出f(x)在区间(0,$\sqrt{a}$]上为减函数,在[$\sqrt{a}$,+∞)上为增函数;
(2)根据上面导数符号的判断过程即知x=$\sqrt{a}$时,f(x)取最小值,求出该值即可.
解答 解:(1)证明:f′(x)=$\frac{{x}^{2}-a}{{x}^{2}}$;
∴x∈(0,$\sqrt{a}$]时,f′(x)≤0,x∈[$\sqrt{a}$,+∞)时,f′(x)≥0;
∴f(x)在区间$(0,\sqrt{2}]$上为减函数,在$[\sqrt{a},+∞)$上为增函数;
(2)由(1)知,x=$\sqrt{a}$时,f(x)取最小值$2\sqrt{a}$.
点评 考查根据导数符号证明函数在一区间上的单调性的方法,以及根据导数求函数最值的方法及过程,要正确求导.
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