Question

4．设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₂=2，S₅=15，数列{b_n}的前n项和为T_n，且b₁=$\frac{1}{2}$，2nb_n+1=（n+1）b_n（n∈N^*）
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n及前n项和S_n；
（2）求数列{b_n}的通项公式b_n及前n项和为T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．
（2）利用“累乘求积”、“错位相减法”、等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，∵a₂=2，S₅=15，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+d=2}\\{5{a}_{1}+\frac{5×4}{2}d=15}\end{array}\right.$，解得a₁=d=1．
∴a_n=1+（n-1）=n．
∴S_n=$\frac{n（1+n）}{2}$．
（2）∵b₁=$\frac{1}{2}$，2nb_n+1=（n+1）b_n（n∈N^*），
∴$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}$=$\frac{n+1}{2n}$，
∴b_n=$\frac{{b}_{n}}{{b}_{n-1}}$$•\frac{{b}_{n-1}}{{b}_{n-2}}$•…$•\frac{{b}_{2}}{{b}_{1}}$•b₁
=$\frac{n}{2（n-1）}$$•\frac{n-1}{2（n-2）}$•…•$\frac{2}{2×1}$×$\frac{1}{2}$
=$\frac{n}{{2}^{n}}$．
∴前n项和为T_n=$\frac{1}{2}+\frac{2}{{2}^{2}}+\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n}}$，
$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{2}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n-1}{{2}^{n}}$+$\frac{n}{{2}^{n+1}}$，
∴$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}$=…+$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$=1-$\frac{2+n}{{2}^{n+1}}$，
∴T_n=2-$\frac{2+n}{{2}^{n}}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”、“累乘求积”、“递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．