Question

对于函数，若存在∈R，使成立，则称为的不动点．

    如果函数＝有且仅有两个不动点0和2．

（1）试求b、c满足的关系式；

（2）若c＝2时，各项不为零的数列{a_n}满足4S_n·＝1，

求证：＜＜；

   （3）在(2)的条件下, 设b_n＝－，为数列{b_n}的前n项和，

        求证：．

Answer 1

解： (1)设

∴      

(2)∵c＝2   ∴b＝2    ∴，

由已知可得2S_n＝a_n－a_n²……①，且a_n ≠ 1．

当n ≥ 2时，2 S_{n -1}＝a_n－1－……②，

①－②得(a_n＋a_n－1)( a_n－a_n－1＋1)＝0，

∴a_n＝－a_n－1   或  a_n＝－a_n－1 ＝－1，                             

当n＝1时，2a₁＝a₁－a₁² a₁＝－1，

若a_n＝－a_n－1，则a₂＝1与a_n ≠ 1矛盾．∴a_n－a_n－1＝－1， ∴a_n＝－n．

∴要证不等式，只要证 ，即证 ，

只要证 ，即证 ．

考虑证不等式(x＞0) . (**)                

令g(x)＝x－ln(1＋x)， h(x)＝ln(x＋1)－  (x＞0) ．

∴＝， ＝，

∵x＞0，  ∴＞0，   ＞0，∴g(x)、h(x)在(0, ＋∞)上都是增函数，

∴g(x)＞g(0)＝0， h(x)＞h(0)＝0，∴x＞0时，．

令则(**)式成立，∴＜＜，        

(3)由(2)知b_n＝，则T_n＝．

在中，令n＝1，2，3，，2008，并将各式相加，

得，

即T₂₀₀₉－1＜ln2009＜T₂₀₀₈．