Question

双曲线（a＞0，b＞0）满足如下条件：（1）ab=；（2）过右焦点F的直线l的斜率为，交y轴于点P，线段PF交双曲线于点Q，且|PQ|：|QF|=2：1，求双曲线的方程．

Answer 1

【答案】分析：首先设直线l：y=（x-c），并求出P点坐标；然后根据|PQ|：|QF|=2：1，求出Q点坐标，并代入双曲线方程，再由a²+b²=c²，求出a²、b²即可．
解答：解：设直线l：y=（x-c），令x=0，得P（0，），
设λ=，Q（x，y），则有，
又Q（）在双曲线上，
∴b²（c）²-a²（-c）²=a²b²，
∵a²+b²=c²，∴，
解得=3，又由ab=，可得，
∴所求双曲线方程为．
点评：本题考查了双曲线的标准方程和简单性质，根据|PQ|：|QF|=2：1，求出Q点坐标是解题的关键，同时要注意运算技巧，属于中档题．