Question

P为椭圆

x2

25

+

y2

9

=1上一点，F₁、F₂为左右焦点，若∠F₁PF₂=60°，则△F₁PF₂的面积为

3

3

．

Answer 1

分析：先利用椭圆定义求出|PF₁|+|PF₂|和|F₁F₂|的值，因为知道焦点三角形的顶角，利用余弦定理求出|PF₁||PF₂|的值，再代入三角形的面积公式即可．

解答：解：由椭圆

x2

25

+

y2

9

=1方程可知，a=5，b=3，∴c=4
∵P点在椭圆上，F₁、F₂为椭圆的左右焦点，
∴|PF₁|+|PF₂|=2a=10，|F₁F₂|=2c=8
在△PF₁F₂中，cos∠F₁PF₂=

|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2

2|PF1||PF2|

=

(|PF1| +|PF2|)2-2|PF1||PF2|-|F1F2|2

2|PF1||PF2|

=

102-2|PF1||PF2|-82

2|PF1||PF2|

=

36 -2|PF1||PF2|

2|PF1||PF2|

=cos60°=

1

2

∴72-4|PF₁||PF₂|=2|PF₁||PF₂|，∴|PF₁||PF₂|=12
又∵在△F₁PF₂中，S△PF1F2=

1

2

|PF₁||PF₂|sin∠F₁PF₂
∴S△PF1F2=

1

2

×12sin60°=3

3

故答案为3

3

点评：本题主要考查椭圆中焦点三角形的面积的求法，关键是应用椭圆的定义和余弦定理转化．