Question

【题目】已知椭圆的离心率为，圆经过椭圆的左，右焦点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）直线与椭圆交于点，线段的中点为，的垂直平分线与轴和轴分别交于两点，是否存在实数，使得的面积与（为原点）的面积相等？若存在，求出的值，若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）不存在，理由见解析.

【解析】

（1）设，由题意得，，从而可求出，，即可得出结果；

（2）先假设存在实数，使得的面积与的面积相等，易知，把代入整理，设，，由根与系数关系，求得.，设点坐标为，根据题意，求得.

根据，列出方程，求得方程无解，即可得出结论.

（1）设，由题意得，

由圆经过椭圆的左，右焦点，得，

所以，，

所以椭圆的标准方程为.

（2）假设存在实数，使得的面积与的面积相等，易知，

把代入，

整理得，，

设，，则，

故点的横坐标为，点的给坐标为，

即.

设点坐标为，因为，

所以，解得，即.

由，及的面积与面积相等，可得.

所以，

整理得.因为此方程无解，

所以不存在实数，使得的面积与的面积相等.