Question

【题目】如图，已知三棱锥中，平面平面，，，．

（1）证明：；

（2）求直线和平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）取的中点，的中点，连、、，利用等腰三角形三线合一的性质得出，利用面面垂直的性质可得出平面，进而得出，再证明出，可得出平面，由此可得出；

（2）过点作垂足为点，推导出平面，计算出，可得出点到平面的距离为，由此可计算出直线和平面所成角的正弦值为，进而得解.

（1）取的中点，的中点，连、、.

，为的中点，，

又，为的中点，，，

又 ，为的中点，，

又 平面平面，交线为，平面，平面，

平面，，

又，平面，平面，；

（2）由（1）知平面，平面，平面平面，

过点作垂足为点，

平面平面，平面，平面，

所以，即是点到平面的距离，

平面，平面，，

，，，

，，

又是的中点，点到面的距离，

与面所成角的正弦值为.