Question

【题目】如图，在四棱锥中，已知四边形是菱形，，，，二面角的大小为，是的中点．

（1）求证：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】

（1）连接交于点，连接，根据三角形的中位线定理证得，然后利用线面平行的判定定理证明即可；

（2）先根据（1）得到直线与平面所成的角，即直线与平面所成的角，然后过点作，利用面面垂直的性质定理得到平面，进而得为直线与平面所成的角，最后求的正弦值即可．

（1）如图所示：

连接交于点，则是的中点，连接．

又是的中点，所以，

因为平面，平面，

所以平面．

（2）过点作，垂足为，连接．

由（1）知，

所以直线与平面所成的角，即直线与平面所成的角．

易知，又是的中点，

所以．

同理，又，

所以平面，

因为平面，

所以平面平面．

因为平面平面，平面，，

所以平面，

所以为直线与平面所成的角．

因为，所以，又，，

所以平面ACP，

所以为二面角的平面角，

所以，

设菱形的边长，又，

所以，

由余弦定理得：，

所以，

在中，，，，

所以，

所以直线与平面所成角的正弦值为．