Question

【题目】已知各项均为正数的两个数列，满足，．且．

（1）求证数列为等差数列；

（2）求数列的通项公式；

（3）设数列，的前n项和分别为，，求使得等式成立的有序数对．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）见解析.

【解析】

（1）根据递推关系可得，从而得到数列是等差数列；

（2）分别求出数列的奇数项和偶数项的通项公式，进而整合数列的通项公式；

（3）求出，，代入中，则存在，使得，，从而，再证明不成立，从而得到，，．

（1）由得，

即．

因为数列各项均为正数，所以，即，

故数列是公差为1的等差数列．

（2）由（1）及知．

由，得．

所以，上面两式相除得，

所以数列的奇数项和偶数项都是公比为4的等比数列．

由及知，所以，，

所以．

综上，数列的通项公式为．

（3）由（1）和（2）知，．

由，得，即．

则必存在，使得，，从而．

若，则，故．

又因为，所以．

这与矛盾，所以．由于，则只能，

此时，．