Question

16．已知函数f（x）是定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，当x＞0时，$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{2^{|{x-1}|}}-1\;\;\;，\;0＜x≤2\\ \frac{1}{2}f（{x-2}）\;\;，\;x＞2\end{array}\right.$，则函数g（x）=4f（x）-1的零点的个数为10．

Answer 1

分析 由g（x）=4f（x）-1=0，得f（x）=$\frac{1}{4}$，作出函数f（x）的表达式，利用数形结合即可得到结论．

解答 解：由g（x）=4f（x）-1=0，得f（x）=$\frac{1}{4}$，
要判断函数g（x）的零点个数，则根据f（x）是定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，
只需要判断当x＞0时f（x）=$\frac{1}{4}$的个数即可，
当0＜x≤2时，f（x）=2^|x-1|-1∈[0，1]，
当2＜x≤4时，0＜x-2≤2时，f（x）=$\frac{1}{2}$f（x-2）=$\frac{1}{2}$[2^|x-3|-1]∈[0，$\frac{1}{2}$]，
当4＜x≤6时，2＜x-2≤4时，f（x）=$\frac{1}{2}$f（x-2）=$\frac{1}{4}$[2^|x-5|-1]∈[0，$\frac{1}{4}$]，
当6＜x≤8时，4＜x-2≤6时，f（x）=$\frac{1}{2}$f（x-2）=$\frac{1}{8}$[2^|x-7|-1]∈[0，$\frac{1}{8}$]，
作出函数f（x）在（0，8）上的图象，由图象可知f（x）=$\frac{1}{4}$有5个根，
则根据偶函数的对称性可知f（x）=$\frac{1}{4}$在定义域（-∞，0）∪（0，+∞）上共有10个根，
即函数g（x）=4f（x）-1的零点个数为10个，
故答案为：10．

点评 本题主要考查函数零点的个数判断，利用函数和方程之间的关系转化为两个函数的交点个数问题，利用分段函数的表达式，作出函数f（x）的图象是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．