Question

设函数f（x）=|x+2|-|x-2|
（I）解不等式f（x）≥2；
（Ⅱ）当x∈R，0＜y＜1时，证明：|x+2|-|x-2|≤

1

y

+

1

1-y

．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：计算题,证明题,不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）运用绝对值的定义，去掉绝对值，得到分段函数，再由各段求范围，最后求并集即可；
（II）由分段函数可得f（x）的最大值，再由基本不等式求得

1

y

+

1

1-y

的最小值，即可得证．

解答： （Ⅰ）解：由已知可得：f(x)=

4，x≥2 2x，-2＜x＜2  -4，   x≤-2

，
由x≥2时，4＞2成立；-2＜x＜2时，2x≥2，即有x≥1，则为1≤x＜2．
所以，f（x）≥2的解集为{x|x≥1}；
（II）证明：由（Ⅰ）知，|x+2|-|x-2|≤4，
由于0＜y＜1，
则

1

y

+

1

1-y

=（

1

y

+

1

1-y

）[y+（1-y）]=2+

1-y

y

+

y

1-y

≥2+2=4，
则有|x+2|-|x-2|≤

1

y

+

1

1-y

．

点评：本题考查绝对值不等式的解法，考查不等式恒成立，注意转化为函数的最值，考查基本不等式的运用：求最值，考查运算能力，属于中档题．