Question

已知c为正实数,数列{a_n}满足a₁=1,a_n+1=(n∈N^*).

(1)证明≤a_n≤1(n∈N^*);

(2)t是满足t=的正实数,记b_n=|a_n-t|(n∈N^*),数列{b_n}的前n项和为S_n.证明S_n≤|tⁿ-1|(n∈N^*);

(3)若c=,记d_n=(n∈N^*),求数列{d_n}的前n项和T_n.

Answer 1

(1)证明:①当n=1时,∵c＞0,a₁=1,∴≤a₁≤1.

②假设n=k时,有≤a_k≤1,

则+c≤a_k+c≤1+c,∴≤≤≤1,即n=k+1时不等式也成立.

∴≤a_n≤1(n∈N^*).

(2)证明:由t=,c＞0,可得t≠1,

由a_n+1=,t=,得a_n+1-t=-=(n∈N^*),

∴|a_n+1-t|==ta_n+1|a_n-t|≤t|a_n-t|≤t²|a_n-1-t|≤…≤tⁿ|1-t|(n∈N^*).

又|a₁-t|=|1-t|,

∴|a_n-t|≤t^n-1|1-t|(n∈N^*).

∴S_n≤|1-t|(1+t+t²+…+t^n-1)=|tⁿ-1|.

(3)解:∵c=,∴a_n+1=.∴a_n+1+2=+2=.

∴.

∴d_n+1=+(n∈N^*).∴d_n+1=(d_n)(n∈N^*).

∴{d_n}是首项为d₁=,公比为的等比数列.

∴d_n=()^n-1,即d_n=()^n-1(n∈N^*).

∴T_n=+()ⁿ(n∈N^*).