题目内容
（2011•武昌区模拟）已知正实数数列{an}的前n项和为Sn，4Sn=an2+2an-3对于一切n∈N*成立．
（I）求数列{an}的通项公式；
（II）设bn=
，Tn为数列{
}的前n项和，求使Tn＜c恒成立的最小正整数c．
（I）求数列{an}的通项公式；
（II）设bn=
| 2an-1 |
| an |
| bn |
分析：（I）先求出数列的首项，然后根据当n≥2时，4Sn=an2+2an-3，则4Sn-1=an-12+2an-1-3，作差化简可得正数列{an}是首项为3，公差为2的等差数列，从而可求出其通项公式；
（II）根据数列{
}通项公式的特点可知利用错位相消法进行求和，从而可求出使Tn＜c恒成立的最小正整数．
（II）根据数列{
| an |
| bn |
解答：（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）当n=1时，4S1=a12+2a1-3=4a1，得a12-2a1-3=0，
a1=3或a1=-1，由条件an＞0，所以a1=3． …（2分）
当n≥2时，4Sn=an2+2an-3，则4Sn-1=an-12+2an-1-3
则4Sn-4Sn-1=an2+2an-3-（an-12+2an-1-3），
所以4an=an2+2an-an-12-2an-1，（an+an-1）（an-an-1-2）=0，…（4分）
由条件an+an-1＞0，所以an-an-1=2，…（5分）
故正数列{an}是首项为3，公差为2的等差数列，所以an=2n+1．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）bn=
=
=2n，
=
，…（7分）
∴Tn=
+
+…+
．…①
将上式两边同乘以
，得
Tn=
+
+…
+
…②…（8分）
①-②，得∴
Tn=
+
+
+…+
-
=
-
．
所以Tn=5-
＜5．…（10分）
又T1=
，T2=
，T3=
，T4=
＞4． …（11分）
若Tn=5-
＜c恒成立，
∴使Tn＜c恒成立的最小正整数c是5． …（13分）
解：（Ⅰ）当n=1时，4S1=a12+2a1-3=4a1，得a12-2a1-3=0，
a1=3或a1=-1，由条件an＞0，所以a1=3． …（2分）
当n≥2时，4Sn=an2+2an-3，则4Sn-1=an-12+2an-1-3
则4Sn-4Sn-1=an2+2an-3-（an-12+2an-1-3），
所以4an=an2+2an-an-12-2an-1，（an+an-1）（an-an-1-2）=0，…（4分）
由条件an+an-1＞0，所以an-an-1=2，…（5分）
故正数列{an}是首项为3，公差为2的等差数列，所以an=2n+1．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）bn=
| 2an-1 |
| 22n+1-1 |
| an |
| bn |
| 2n+1 |
| 2n |
∴Tn=
| 3 |
| 2 |
| 5 |
| 22 |
| 2n+1 |
| 2n |
将上式两边同乘以
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 22 |
| 5 |
| 23 |
| 2n-1 |
| 2n |
| 2n+1 |
| 2n+1 |
①-②，得∴
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 2 |
| 22 |
| 2 |
| 23 |
| 2 |
| 2n |
| 2n+1 |
| 2n+1 |
| 5 |
| 2 |
| 2n+5 |
| 2n+1 |
所以Tn=5-
| 2n+5 |
| 2n |
又T1=
| 3 |
| 2 |
| 11 |
| 4 |
| 29 |
| 8 |
| 77 |
| 16 |
若Tn=5-
| 2n+5 |
| 2n |
∴使Tn＜c恒成立的最小正整数c是5． …（13分）
点评：本题主要考查了等差数列的通项公式，以及利用错位相消法进行求和，同时考查了数列与不等式的综合和计算能力，属于中档题．
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