Question

7．命题p：“?x∈[0，$\frac{π}{4}$]，tanx≤m”恒成立，命题q：“f（x）=x²+m，g（x）=（$\frac{1}{2}$）^x-m，对?x₁∈[-1，3]，?x₂∈[0，2]，f（x₁）≥g（x₂）成立”，若p∧q为假，p∨q为真，求m的取值范围．

Answer 1

分析 “f（x）=x²+m，g（x）=（$\frac{1}{2}$）^x-m，对?x₁∈[-1，3]，?x₂∈[0，2]，f（x₁）≥g（x₂）成立”，等价于f（x）_min≥g（x）_min．若p∧q为假，p∨q为真，可得p与q必然一真一假．

解答 解：命题p：由“?x∈[0，$\frac{π}{4}$]，tanx≤m”恒成立，∴m≥（tanx）_max=1．
命题q：?x∈[-1，3]，f（x）_min=f（0）=m．x∈[0，2]，g（x）_min=$（\frac{1}{2}）^{2}$-m=$\frac{1}{4}$-m．
“f（x）=x²+m，g（x）=（$\frac{1}{2}$）^x-m，
对?x₁∈[-1，3]，?x₂∈[0，2]，f（x₁）≥g（x₂）成立”，
∴f（x）_min≥g（x）_min．
∴m≥$\frac{1}{4}$-m，解得$m≥\frac{1}{8}$．
若p∧q为假，p∨q为真，∴p与q必然一真一假，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m≥1}\\{m＜\frac{1}{8}}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{m＜1}\\{m≥\frac{1}{8}}\end{array}\right.$，
解得m∈∅，或$\frac{1}{8}≤m＜1$．
∴m的取值范围是$[\frac{1}{8}，1）$．

点评 本题考查了函数的单调性、不等式的解法、简易逻辑的判定方法、恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．