题目内容
17．已知函数f（x）=x3+ax2-x+c（x∈R），若函数f（x）在（-∞，x1），（x2，+∞）上是增函数，则x2-x1的取值范围是[$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，+∞）．分析 求出函数的导数，得到x1，x2是方程f′（x）=0的解，根据二次函数的性质求出即可．
解答 解：∵f（x）=x3+ax2-x+c（x∈R），
∴f′（x）=3x2+2ax-1，
若函数f（x）在（-∞，x1），（x2，+∞）上是增函数，
则x1，x2是方程f′（x）=0的解，
∴x1+x2=-$\frac{2a}{3}$，x1x2=-$\frac{1}{3}$，
x2-x1=$\sqrt{{{（x}_{1}{+x}_{2}）}^{2}-{{4x}_{1}x}_{2}}$=$\frac{2\sqrt{{a}^{2}+3}}{3}$≥$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
故答案为：[$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，+∞）．
点评 本题考查了导数的应用以及二次函数的性质，是一道中档题．
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