Question

【题目】已知函数 .

（1）求时，的单调区间；

（2）若存在，使得对任意的，都有，求的取值范围，并证明.

Answer 1

【答案】（1）在为减函数，为增函数；（2），证明见解析

【解析】

（1）由得，对函数求导，得到， 令，用导数法方法判断其单调性，求出在上为增函数，再由，即可求出结果；

（2）先对函数求导，得到，根据题意，得到为在的极小值点，故，设，对函数求导，根据函数单调性，得到，推出，再令，用导数的方法求出其单调性，进而可得出结果.

（1）当时，，

，

令，则，

所以，由得；由得，

即函数在上单调递减，在上单调递增，

因此，所以在上单调递增；

即在上为增函数.

又因为，

所以当时，；当时，；

故在为减函数，为增函数.

(2) ，

因为对任意的恒成立，所以为在的极小值点，故①.

设，则当 时，，

所以在上为增函数，而，.

由①可知，从而 ，故.

又由，即，

所以

.

令，其中，则，为上的减函数，

故，而，

所以.