Question

13．（文科）如图，已知抛物线C：y=$\frac{1}{4}$x²，点P（x₀，y₀）为抛物线上一点，y₀∈[3，5]，圆F方程为x²+（y-1）²=1，过点P作圆F的两条切线PA，PB分别交x轴于点M，N，切点分别为A，B．
①求四边形PAFB面积的最大值．
②求线段MN长度的最大值．

Answer 1

分析 ①四边形PAFB面积S=2S_△APF=2$•\frac{1}{2}•|AP|$，求出|AP|的最大值，即可求四边形PAFB面积的最大值．
②求出M，N的坐标，表示出|MN|，即可求线段MN长度的最大值．

解答 解：①设P（x₀，$\frac{1}{4}$x₀²），则$\frac{1}{4}$x₀²∈[3，5]，x₀²∈[12，20]，
由题意，∠FAP=90°，∠FBP=90°，
△AFP中，|AP|=$\sqrt{|PF{|}^{2}-|AF{|}^{2}}$=$\frac{\sqrt{{{x}_{0}}^{4}+8{{x}_{0}}^{2}}}{4}$，
令x₀²=t∈[12，20]，则|AP|=$\frac{1}{4}$$\sqrt{{t}^{2}+8t}$，
四边形PAFB面积S=2S_△APF=2$•\frac{1}{2}•|AP|$=$\frac{1}{4}$$\sqrt{{t}^{2}+8t}$，
最大值为$\sqrt{35}$，此时x₀²=20，即y₀=5时取到；
②设P（x₀，$\frac{1}{4}$x₀²），则圆的切线方程为y-$\frac{1}{4}$x₀²=k（x-x₀）．
由点到直线的距离公式可得$\frac{|k{x}_{0}+1-\frac{1}{4}{{x}_{0}}^{2}|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1
∴（x₀²-1）k+2x₀（1-$\frac{1}{4}$x₀²）k+（1-$\frac{1}{4}$x₀²）²-1=0，
设两根为k₁，k₂，则k₁+k₂=-$\frac{2{x}_{0}（1-\frac{1}{4}{{x}_{0}}^{2}）}{{{x}_{0}}^{2}-1}$，k₁k₂=$\frac{（1-\frac{1}{4}{{x}_{0}}^{2}）^{2}-1}{{{x}_{0}}^{2}-1}$，
∵M（x₀-$\frac{1}{4{k}_{1}}$x₀²，0），N（x₀-$\frac{1}{4{k}_{2}}$x₀²，0），
∴|MN|=$\frac{1}{4}$x₀²|$\frac{1}{{k}_{1}}$-$\frac{1}{{k}_{2}}$|=2•$\frac{\sqrt{{t}^{2}+8t}}{t-8}$（x₀²=t∈[12，20]，t-8=m∈[4，12]）
∴|MN|=2•$\frac{\sqrt{{n}^{2}+24n+128}}{n}$，
令$\frac{1}{n}$=p∈[$\frac{1}{12}$，$\frac{1}{4}$]，
∴|MN|=2$\sqrt{128{p}^{2}+24p+1}$，最大值为2$\sqrt{15}$，p=$\frac{1}{4}$，即y₀=3时取到．

点评 本题考查圆锥曲线的综合，考查四边形面积的计算，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．