Question

【题目】设函数（）.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若关于x的方程有唯一的实数解，求a的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）当时，递增区间时，无递减区间，当时，递增区间时，递减区间时；（2）或.

【解析】

（1）求出，对分类讨论，先考虑（或）恒成立的范围，并以此作为的分类标准，若不恒成立，求解，即可得出结论；

（2）有解，即，令，转化求函数只有一个实数解，根据（1）中的结论，即可求解.

（1），

当时，恒成立，

当时，，

综上，当时，递增区间时，无递减区间，

当时，递增区间时，递减区间时；

（2），

令，原方程只有一个解，只需只有一个解，

即求只有一个零点时，的取值范围，

由（1）得当时，在单调递增，

且，函数只有一个零点，原方程只有一个解，

当时，由（1）得在出取得极小值，也是最小值，

当时，，此时函数只有一个零点，

原方程只有一个解，

当且

递增区间时，递减区间时；

，当，

有两个零点，

即原方程有两个解，不合题意，

所以的取值范围是或.