Question

（本小题满分14分）设数列的各项都是正数，且对任意，都有，记为数列的前项和．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若（为非零常数，），问是否存在整数，使得对任意 ，都有．

Answer 1

(Ⅰ)    (Ⅱ) 

解析:

：（1）在已知式中，当时，    ∵   ∴……2分

    当时，   ①     ②

    ①－②得，

    ∵       ∴=    ③    ∵适合上式…………4分

     当时，      ④

     ③－④得：

    ∵   ∴

∴数列是等差数列，首项为1，公差为1，可得……………………6分

（2）假设存在整数，使得对任意 ，都有．

∵     ∴

     ∴ 

∴ ⑤………………8分

当（）时，⑤式即为  ⑥

依题意，⑥式对都成立，∴λ<1……………………10分

当（）时，⑤式即为  ⑦

依题意，⑦式对都成立，∴………………12分

∴∴存在整数，使得对任意，都有………14分