Question

12．已知数列{a_n}的前n项和S_n，对任意n∈N^*，S_n=（-1）ⁿa_n+$\frac{1}{2^n}$+n-3且（a_n+1-p）（a_n-p）＜0恒成立，则实数p的取值范围是$（{-\frac{3}{4}，\frac{11}{4}}）$．

Answer 1

分析 由数列递推式求出首项，写出n≥2时的递推式，作差后对n分偶数和奇数讨论，求出数列通项公式，可得函数${a}_{n}=\frac{1}{{2}^{n+1}}-1$（n为正奇数）为减函数，最大值为${a}_{1}=-\frac{3}{4}$，函数${a}_{n}=3-\frac{1}{{2}^{n}}$（n为正偶数）为增函数，最小值为${a}_{2}=\frac{11}{4}$．再由（a_n+1-p）（a_n-p）＜0恒成立求得实数p的取值范围．

解答 解：由${S_n}={（-1）^n}{a_n}+\frac{1}{2^n}+n-3$，得${a}_{1}=-\frac{3}{4}$；
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$（-1）^{n}{a}_{n}+\frac{1}{{2}^{n}}+n-3-（-1）^{n-1}{a}_{n-1}-\frac{1}{{2}^{n-1}}-（n-1）+3$
=$（-1）^{n}{a}_{n}+（-1）^{n}{a}_{n-1}-\frac{1}{{2}^{n}}+1$．
若n为偶数，则${a}_{n-1}=\frac{1}{{2}^{n}}-1$，∴${a}_{n}=\frac{1}{{2}^{n+1}}-1$（n为正奇数）；
若n为奇数，则${a}_{n-1}=-2{a}_{n}-\frac{1}{{2}^{n}}+1$=$-2（\frac{1}{{2}^{n+1}}-1）-\frac{1}{{2}^{n}}+1$=$3-\frac{1}{{2}^{n-1}}$，
∴${a}_{n}=3-\frac{1}{{2}^{n}}$（n为正偶数）．
函数${a}_{n}=\frac{1}{{2}^{n+1}}-1$（n为正奇数）为减函数，最大值为${a}_{1}=-\frac{3}{4}$，
函数${a}_{n}=3-\frac{1}{{2}^{n}}$（n为正偶数）为增函数，最小值为${a}_{2}=\frac{11}{4}$．
若（a_n+1-p）（a_n-p）＜0恒成立，
则a₁＜p＜a₂，即$-\frac{3}{4}＜p＜\frac{11}{4}$．
故答案为：$（{-\frac{3}{4}，\frac{11}{4}}）$．

点评 本题考查数列递推式，考查了数列通项公式的求法，体现了分类讨论的数学思想方法和数学转化思想方法，是中档题．