如图.曲线Γ由两个椭圆T1:$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$和椭圆T2:$\frac{y^2}{b^2}+\frac{x^2}{c^2}=1$组成.当a.b.c成等比数列时.称曲线Γ为“猫眼曲线．(1)若猫眼曲线Γ过点$M$.且a.b.c的公比为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$.求猫眼曲线Γ的方程,中的求猫眼曲线� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

2．

如图，曲线Γ由两个椭圆T₁：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$和椭圆T₂：$\frac{y^2}{b^2}+\frac{x^2}{c^2}=1（{b＞c＞0}）$组成，当a，b，c成等比数列时，称曲线Γ为“猫眼曲线”．
（1）若猫眼曲线Γ过点$M（{0，-\sqrt{2}}）$，且a，b，c的公比为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，求猫眼曲线Γ的方程；
（2）对于题（1）中的求猫眼曲线Γ，任作斜率为k（k≠0）且不过原点的直线与该曲线相交，交椭圆T₁所得弦的中点为M，交椭圆T₂所得弦的中点为N，求证：$\frac{{{k_{OM}}}}{{{k_{ON}}}}$为与k无关的定值；
（3）若斜率为$\sqrt{2}$的直线l为椭圆T₂的切线，且交椭圆T₁于点A，B，N为椭圆T₁上的任意一点（点N与点A，B不重合），求△ABN面积的最大值．

分析（1）由题意知$b=\sqrt{2}$，$\frac{b}{a}$=$\frac{c}{b}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，从而求猫眼曲线Γ的方程；
（2）设交点C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），从而可得${x_0}=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}，{y_0}=\frac{{{y_1}+{y_2}}}{2}$，联立方程化简可得$k•{k_{OM}}=-\frac{1}{2}$，k•k_ON=-2；从而解得；
（3）设直线l的方程为$y=\sqrt{2}x+m$，联立方程化简$（{{b^2}+2{c^2}}）{x^2}+2\sqrt{2}m{c^2}x+{m^2}{c^2}-{b^2}{c^2}=0$，从而可得${l_1}：y=\sqrt{2}x+\sqrt{{b^2}+2{c^2}}$，同理可得${l_2}：y=\sqrt{2}x-\sqrt{{b^2}+2{a^2}}$，从而利用两平行线间距离表示三角形的高，再求$|{AB}|=\frac{{2\sqrt{3}ab\sqrt{2{a^2}-2{c^2}}}}{{{b^2}+2{a^2}}}$；从而求最大面积．

解答解：（1）由题意知，$b=\sqrt{2}$，$\frac{b}{a}$=$\frac{c}{b}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴a=2，c=1，
∴${T_1}：\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$，∴${T_2}：\frac{y^2}{2}+{x^2}=1$；
（2）证明：设斜率为k的直线交椭圆T₁于点C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），线段CD中点M（x₀，y₀），
∴${x_0}=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}，{y_0}=\frac{{{y_1}+{y_2}}}{2}$，
由$\left\{\begin{array}{l}\frac{{{x_1}^2}}{4}+\frac{{{y_1}^2}}{2}=1\\ \frac{{{x_2}^2}}{4}+\frac{{{y_2}^2}}{2}=1\end{array}\right.$得$\frac{{（{{x_1}-{x_2}}）（{{x_1}+{x_2}}）}}{4}+\frac{{（{{y_1}-{y_2}}）（{{y_1}+{y_2}}）}}{2}=0$，
∵k存在且k≠0，
∴x₁≠x₂，且x₀≠0，
∴$\frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}•\frac{y_0}{x_0}=-\frac{1}{2}$，
即$k•{k_{OM}}=-\frac{1}{2}$；
同理，k•k_ON=-2；
∴$\frac{{{k_{OM}}}}{{{k_{ON}}}}=\frac{1}{4}$；
（3）设直线l的方程为$y=\sqrt{2}x+m$，
联立方程得$\left\{\begin{array}{l}y=\sqrt{2}x+m\\ \frac{y^2}{b^2}+\frac{x^2}{c^2}=1\end{array}\right.$，
化简得，$（{{b^2}+2{c^2}}）{x^2}+2\sqrt{2}m{c^2}x+{m^2}{c^2}-{b^2}{c^2}=0$，
由△=0化简得m²=b²+2c²，
${l_1}：y=\sqrt{2}x+\sqrt{{b^2}+2{c^2}}$，
联立方程得$\left\{\begin{array}{l}y=\sqrt{2}x+m\\ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\end{array}\right.$，
化简得$（{{b^2}+2{a^2}}）{x^2}+2\sqrt{2}m{a^2}x+{m^2}{a^2}-{b^2}{a^2}=0$，
由△=0得m²=b²+2a²，
${l_2}：y=\sqrt{2}x-\sqrt{{b^2}+2{a^2}}$，
两平行线间距离：$d=\frac{{\sqrt{{b^2}+2{c^2}}+\sqrt{{b^2}+2{a^2}}}}{{\sqrt{3}}}$，
∴$|{AB}|=\frac{{2\sqrt{3}ab\sqrt{2{a^2}-2{c^2}}}}{{{b^2}+2{a^2}}}$；
∴△ABN的面积最大值为$S=\frac{1}{2}|{AB}|•d=\frac{{ab\sqrt{2{a^2}-2{c^2}}（{\sqrt{{b^2}+2{c^2}}+\sqrt{{b^2}+2{a^2}}}）}}{{{b^2}+2{a^2}}}$．