Question

已知a_n=log_n+1^（n+2）（n∈N^*）我们把使乘积a₁•a₂•a₃…a_n为整数的数n叫做“成功数”，则在区间（1，2012）内的所有成功数的和为

1. A.
   1024
2. B.
   2003
3. C.
   2026
4. D.
   2048

Answer 1

C
分析：由题意可得，a₁•a₂…a_n=log₂3•log₃4…log_n+1（n+2）=，若使log₂（n+2）为整数，则n+2=2^k（k∈Z），则在（1，2012）内的所有整数可求，进而利用分组求和及等比数列的求和公式可求得结果．
解答：∵a_n=log_n+1（n+2），
∴a₁•a₂…a_n=log₂3•log₃4…log_n+1（n+2）
=
若使log₂（n+2）为整数，则n+2=2^k（k∈Z），
则在（1，2012）内的所有整数分别为：2²-2，2³-2，…，2¹⁰-2．
∴所求的“成功数”的和为：
2²-2+2³-2+…+2¹⁰-2
=（2²+2³+2³+…+2¹⁰）-2×9
==2026．
故选C．
点评：本题以新定义“成功数”为切入点，主要考查了对数的换底公式及对数的运算性质的应用，属于中档试题．