Question

设f（x）=x²+mx+n，f（-1）=-1．
（Ⅰ）求证：方程f（x）=0有两个不相等的实根；
（Ⅱ）若f（0）•f（1）＜0，求m的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设x₁，x₂是方程f（x）=0的两个实根，求证：2＜|x1-x2|＜

5

2

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f（-1）=-1求得m与n的关系，再由判别式判断．
（Ⅱ）由f（0）•f（1）＜0，可得n（1+m+n）＜0，再由f（-1）=-1，得m，n的等量关系，消去n转化为m的不等式求解．
（Ⅲ）由韦达定理得到x₁+x₂=-m，x₁x₂=n，再由|x1-x2|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

m2-4n

═

(m-2)2+4

再由m的范围用二次函数性质进行求解．

解答：解：（Ⅰ）∵f（-1）=-1，∴m-n=2（2分）
∴△=m²-4n=m²+4（2-m）=（m-2）²+4＞0，
则方程f（x）=0有两个不相等的实根；（5分）

（Ⅱ）∵f（0）•f（1）＜0，∴n（1+m+n）＜0，（7分）
将m-n=2代入有（m-2）（2m-1）＜0，∴

1

2

＜m＜2；（10分）

（Ⅲ）∵x₁+x₂=-m，x₁x₂=n，
∴|x1-x2|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

m2-4n

═

(m-2)2+4

（14分）
∵

1

2

＜m＜2，∴2＜|x1-x2|＜

5

2

．（16分）

点评：本题主要考查函数，方程，不等式间的转化与应用，这里主要涉及了方程根的判断，应用韦达定理研究参数的范围．