Question

设f（x）=x²-6x+5，不等式组

f(x)-f(y)≥0 1≤x≤5

表示的区域为A，
（1）在区域A中任取一点（x，y），求z=

x2+y2

xy

的取值范围；
（2）平面上有一定点O（3，3），若一动点M满足|OM|≤2

2

，求点M落入区域A内的概率．

Answer 1

分析：利用函数f（x）=x²-6x+5，化简不等式组

f(x)-f(y)≥0 1≤x≤5

，
（1）画出不等式组表示的可行域，求出

y

x

的范围，化简z=

x2+y2

xy

，通过

y

x

的范围以及基本不等式，求出z的取值范围；
（2）输出M的坐标，推出|OM|≤2

2

的方程表示的区域，然后利用几何概型，求点M落入区域A内的概率．

解答：解：（1）f（x）=x²-6x+5，不等式组

f(x)-f(y)≥0 1≤x≤5

化为：

x2-6x+5-y2+5y-5≥0 1≤x≤5

，
即：

(x-y)(x+y-6)≥0 1≤x≤5

，表示的可行域如图：
z=

x2+y2

xy

=

x

y

+

y

x

，令t=

y

x

，t∈[k₁，k₂]，k1=

1

5

，k₂=5，
∴t∈[

1

5

，5]．
∴z=

1

t

+t≥2，当且仅当t=1（1∈[

1

5

，5]）时取等号，
z的最大值在t=

1

5

与t=5中取得，
t=

1

5

与t=5时，z=

26

5

，
∴z∈[2，

26

5

]．
（2）设M（x，y），∵|OM|≤2

2

，
∴（x-3）²+（y-3）²≤8
点M（x，y）所在的区域是以（3，3）为圆心的半径为2

2

，的圆面，
∴P=

S区域A

S圆

=

2× 1 2 ×4×2

π×(2 2 )2

=

8

8π

=

1

π

．

点评：本题考查解得的线性规划的应用，基本不等式的应用，几何概型的求法，考查计算能力以及转化思想．