Question

已知函数f（x）=x²+m，其中m∈R，定义数列{a_n}如下：a₁=0，a_n+1=f（a_n），n∈N*．
（1）当m=1时，求a₂，a₃，a₄的值；
（2）是否存在实数m，使a₂，a₃，a₄成等比数列？若存在，请求出实数m的值，并求出等比数列的公比；若不存在，请说明理由．
（3）设m=-1，f^-1（x）为f（x）在x∈[0，+∞）的反函数，数列{b_n}满足：b₁=1，b_n+1=f^-1（b_n²）（n∈N*），记S_n=b₁²+b₂²+…+b_n²，求使S_n＞2010成立的最小正整数n的值．

Answer 1

分析：（1）根据数列和函数的关系直接代入即可求出a₂，a₃，a₄的值．
（2）此题的关键是运用等比数列的性质a₃²=a₂•a₄，求出m的值，再根据相邻两项的比值求出等比数列的公比．
（3）首先求出反函数，再据数列和函数的关系推出数列{b_n²}是等差数列，就可以求出S_n，最后求出满足S_n＞2010的最小正整数n的值．

解答：解：（1）当m=1时，则f（x）=x²+1
∵a_n+1=f（a_n），a₁=0
∴a₂=f（a₁）=f（0）=1，a₃=f（a₂）=2，a₄=f（a₃）=5
∴a₂=1，a₃=2，a₄=5

（2）∵a_n+1=f（a_n），f（x）=x²+m
∴a₂=f（a₁）=f（0）=m，a₃=f（a₂）=m²+m，a₄=f（a₃）=（m²+m）²+m=m⁴+2m³+m²+m
∵a₂，a₃，a₄成等比数列
∴（m²+m）²=m（m⁴+2m³+m²+m）
即m⁴+2m³+m²=m⁵+2m⁴+m³+m²
∴m⁵+m⁴-m³=m³（m²+m-1）=0
又∵a₂=m≠0
∴m²+m-1=0
∴m=

-1+ 5

2

或m=

-1- 5

2

当m=

-1+ 5

2

时，数列的公比q=

a3

a2

=

m2+m

m

=m+1=

1+ 5

2

当m=

-1- 5

2

，数列的公比q=

1- 5

2

（3）∵f（x）=x²-1，x∈[0，+∞）
∴f-1(x)=

x+1

（x≥-1）
又∵bn+1=

b 2 n +1

∴b_n+1²=b_n²+1
∵b₁=1
∴b₁²=1，
∴b_n²是以1为首项，1为公差的等差数列
∴b_n²=n
∵S_n=b₁²+b₂²+…+b_n²
∴Sn=1+2++n=

n(n+1)

2

∵S_n＞2010，即

n(n+1)

2

＞2010
∴解得n≥63
∴所求的最小正整数n的值是63．

点评：本题综合考查了数列和函数的关系，同时考查了等比数列的性质以及反函数的求法；同时注意根据b_n+1²=b_n²+1，可以看出{b_n²}是等差数列，是解题的关键．