Question

11．（1）求曲线y=ln（2x-1）上的点到直线2x-y+3=0的最短距离．
（2）设命题P：复数z=（$\frac{1-i}{1+i}$）²-a（1-2i）+i对应的点在第二象限；命题q：不等式|a-1|≥sinx对于x∈R恒成立；如果“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用导数求出曲线y=ln（2x-1）的斜率是2的点的坐标，然后由点到直线的距离公式得答案；
（2）利用复数代数形式的乘除运算化简，由实部小于0且虚部大于0求出a的范围，再由不等式|a-1|≥sinx对于x∈R恒成立求出a的范围，然后由p与q一真一假取交集求得实数a的取值范围．

解答 解：（1）∵直线2x-y+3=0的斜率为2，
∴令y′=$\frac{2}{2x-1}=2$，解得：x=1，
把x=1代入曲线方程得：y=0，即曲线上过（1，0）的切线斜率为2，
则（1，0）到直线2x-y+3=0的距离d=$\frac{|2+3|}{\sqrt{{2}^{2}+（-1）^{2}}}=\sqrt{5}$，
即曲线y=ln（2x-1）上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是$\sqrt{5}$；
（2）z=（$\frac{1-i}{1+i}$）²-a（1-2i）+i
=$（\frac{（1-i）^{2}}{（1+i）（1-i）}）^{2}-a+2ai+i=（-i）^{2}-a+2ai+i$=-1-a+（2a+1）i．
复数z=（$\frac{1-i}{1+i}$）²-a（1-2i）+i对应的点在第二象限，则$\left\{\begin{array}{l}{-1-a＜0}\\{2a+1＞0}\end{array}\right.$，即$a＞-\frac{1}{2}$．
∴命题P：$a＞-\frac{1}{2}$；
不等式|a-1|≥sinx对于x∈R恒成立，即|a-1|≥1恒成立，解得a≤0或a≥2．
如果“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，则p与q一真一假．
当p真q假时，0＜a＜2；当p假q真时，$a≤-\frac{1}{2}$．
∴实数a的取值范围是$（-∞，-\frac{1}{2}]∪（0，2）$．

点评 本题考查复合命题的真假判断，训练了利用导数求过去线上某点处的曲线方程，考查函数恒成立问题，体现了数学转化思想方法，是中档题．