Question

（本小题满分14分）已知Sn为数列{an}的前n项和，且有a1=1，Sn+1=an+1（n∈N*）．

（1）求数列{an}的通项an；

（2）若，求数列的前n项和Tn；

（3）设的前n项和为An，是否存在最小正整数m，使得不等式An<m对任意正整数n恒成立？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由。

Answer 1

（1）（2），（3）存在最小正整数

【解析】

试题分析：(1)当时，可求得，当 时，利用可求，注意验证是否符合；

（2）由(1)可知，利用错位相减法即可求得Tn

（3）由（1）（2）可得，化简得，

考虑裂项相消法可得，可求得，由题

不等式对任意正整数恒成立，则

试题解析：(Ⅰ) 当时，；

当时，，，相减得

又， 所以是首项为，公比为的等比数列，所以

(Ⅱ) 由(Ⅰ) 知，所以

所以

两式相减得，

所以(或写成，均可)

（Ⅲ）=

所以

若不等式对任意正整数恒成立，则，

所以存在最小正整数，使不等式对任意正整数恒成立

考点：数列通项公式，错位相减法，裂项相消法，恒成立问题