Question

8．有一块半径为R（R为正常数）的半圆形空地，开发商计划征地建一个游泳池ABCD和其附属设施，附属设施占地形状是等腰△CDE，其中O为圆心，A，B在圆的直径上，C，D，E在半圆周上，如图．
（1）设∠BOC=θ，征地面积为f（θ），求f（θ）的表达式，并写出定义域；
（2）当θ满足g（θ）=f（θ）+R²sinθ取得最大值时，开发效果最佳，求出开发效果最佳的角θ的值，并求出g（θ）的最大值．

Answer 1

分析 （1）连结OC，OE，用θ表示出BC，OB，代入梯形面积公式即可得出f（θ）；
（2）令sinθ+cosθ=t，使用换元法求出g（θ）的最值及对应的θ．

解答 解：（1）连结OE，OC，
在Rt△OBC中，BC=Rsinθ，OB=Rcosθ，
∴S_梯形OBCE=$\frac{1}{2}$（Rsinθ+R）Rcosθ=$\frac{1}{2}$R²（1+sinθ）cosθ，
∴f（θ）=2S_梯形OBCE=R²（1+sinθ）cosθ，θ∈（0，$\frac{π}{2}$）．
（2）g（θ）=R²（1+sinθ）cosθ+R²sinθ=R²（sinθ+cosθ+sinθcosθ），
令t=sinθ+cosθ=$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$），则t∈（1，$\sqrt{2}$]，sinθcosθ=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$，
∴g（θ）=R²（$\frac{{t}^{2}-1}{2}+t$）=$\frac{{R}^{2}}{2}$[（t+1）²-2]，
令h（t）=$\frac{{R}^{2}}{2}$[（t+1）²-2]，则h（t）在（1，$\sqrt{2}$]上单调递增，
∴当t=$\sqrt{2}$即θ=$\frac{π}{4}$时，h（t）取得最大值（$\frac{1}{2}+\sqrt{2}$）R²，

点评 本题考查了函数模型的应用，函数最值的计算，属于中档题．