Question

已知函数f（x）=sin²x+

3

sinxcosx
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[0，

2π

3

]上的取值范围．

Answer 1

分析：（I）利用二倍角、辅助角公式，化简函数，结合正弦函数的单调性，即可得到结论；
（II）先确定-

π

6

≤2x-

π

6

≤

7π

6

，再利用正弦函数的性质，可得结论．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=sin²x+

3

sinxcosx=

1-cos2x

2

+

3

2

sin2x=sin(2x-

π

6

)+

1

2

令(2x-

π

6

)∈[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]，k∈Z，则x∈[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]，k∈Z
∴函数f（x）的单调递增区间为[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]，k∈Z
（Ⅱ）因为x∈[0，

2π

3

]，
所以-

π

6

≤2x-

π

6

≤

7π

6

，
所以-

1

2

≤sin(2x-

π

6

)≤1，
因此0≤sin(2x-

π

6

)+

1

2

≤

3

2

，即f（x）的取值范围为[0，

3

2

]．

点评：本题考查三角函数的化简，考查三角函数的性质，考查学生的计算能力，属于中档题．