Question

8．已知直线y=ax+1与双曲线3x²-y²=1相交于A，B两点，O为坐标原点．
（1）求a的取值范围；
（2）如果OA与OB垂直，求a的值．

Answer 1

分析 （1）根据直线和双曲线的位置关系，即可求a的取值范围；
（2）根据条件以AB为直径的圆过坐标原点，消去y，利用根与系数之间的关系即可求实数a的值．

解答 解：（1）由直线y=ax+1与双曲线3x²-y²=1，
消去y，得（3-a²）x²-2ax-2=0，
依题意得$\left\{\begin{array}{l}{3-{a}^{2}≠0}\\{4{a}^{2}+8（3-{a}^{2}）＞0}\end{array}\right.$，
即-$\sqrt{6}$＜a＜$\sqrt{6}$且a≠±$\sqrt{3}$．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵（3-a²）x²-2ax-2=0，
∴x₁+x₂=$\frac{2a}{3-{a}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{-2}{3-{a}^{2}}$，
∵以AB为直径的圆过坐标原点，
∴OA⊥OB，
即x₁x₂+y₁y₂=0，
则x₁x₂+（ax₁+1）（ax₂+1）=0，
则（a²+1）x₁x₂+a（x₁+x₂）+1=0，
∴（a²+1）•$\frac{-2}{3-{a}^{2}}$+a•$\frac{2a}{3-{a}^{2}}$+1=0，
解得a=±1，满足条件．

点评 本题主要考查直线和圆锥曲线的位置关系的判断和应用，联立方程利用根与系数之间的关系是解决本题的关键．