题目内容

长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，AD=6，AA1=4，M是A1C1的中点，P在线段BC上，且CP=2，Q是DD1的中点，求：
（1）M到直线PQ的距离；
（2）M到平面AB1P的距离．
如图，建立空间直角坐标系B-xyz，则A（4，0，0），M（2，3，4），P（0，4，0），Q（4，6，2）．
（1）∵
QM
=（-2，-3，2），
QP
=（-4，-2，-2），
∴
QM
在
QP
上的射影为
QM
•
QP
|
QP
|
=
(-2)×(-4)+(-3)×(-2)+2×(-2)
(-4)2+(-2)2+(-2)2
=
5
6
6
，
故M到PQ的距离为
QM
2-(
5
6
6
)2
=
462
6
．
（2）设
n
=（x，y，z）是平面AB1P的法向量，则
n
⊥
AB1
，
n
⊥
AP
，
∵
AB1
=（-4，0，4），
AP
=（-4，4，0），
∴
-4x+4z=0
-4x+4y=0
．
因此可取
n
=（1，1，1），由于
MA
=（2，-3，-4），
那么点M到平面AB1P的距离为d=
|
MA
•
n
|
|
n
|
=
|2×1+(-3)×1+(-4)×1|
3
=
5
3
3
，
故M到平面AB1P的距离为
5
3
3
．
练习册系列答案
相关题目
已知正方体中，，分别为，的中点，，．求证：
（１），，，四点共面；
（２）若交平面于点，则，，三点共线．
设直线平面，过平面外一点与都成角的直线有且只有(     )
A．１条B．２条C．３条D．４条
如图，ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，∠BAD=60，
（1）求点A到平面PBD的距离的值；
（2）求二面角A-PB-D的余弦值．
正方形ABCD的边长为a，MA⊥平面ABCD，且MA=a，试求：
（1）点M到BD的距离；
（2）AD到平面MBC的距离．
三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直，Q为底面上一点，Q到三个侧面的距离分别为3、4、5，则PQ的长度为（　　）
A．5B．5
2
C．4
2
D．6
（理）如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，PA=AD=2，点E、F、G分别为线段PA、PD和CD的中点．
（1）求异面直线EG与BD所成角的大小；
（2）在线段CD上是否存在一点Q，使得点A到平面EFQ的距离恰为
4
5
？若存在，求出线段CQ的长；若不存在，请说明理由．
如图，在四棱锥M-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱AM的长为3，且AM和AB、AD的夹角都是60°，N是CM的中点，设
a
=
AB
，
b
=
AD
，
c
=A
M
，试以
a
，
b
，
c
为基向量表示出向量
BN
，并求BN的长．
空间四边形ABCD的各边与两条对角线的长都是1，点P在边AB上移动，点Q在CD上移动，则点P与Q的最短距离为（　　）
A．
1
2
B．
2
2
C．
3
4
D．
3
2

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