Question

【题目】已知函数（），.

（1）若，曲线在点处的切线与轴垂直，求的值；

（2）若，试探究函数与的图象在其公共点处是否存在公切线.若存在，研究值的个数；，若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）当时，函数与的图象在其公共点处不存在公切线，当时，函数与的图象在其公共点处存在公切线，且符合题意的的值有且仅有两个.

【解析】试题分析：（1）当时， ，得到，依题意，即可求解的值；（2）假设的图象在其公共点处存在公切线，分别求出导数，令，得，讨论，分别， ，令，研究方程解的个数，可构造函数，运用都是求出单调区间，讨论函数的零点个数即可判断.

试题解析：（1）当时， ，∴ ，

依题意得，∴ .

（2）假设函数与的图象在其公共点处存在公切线，

∵，∴ ，∴ ， ，

由得，即，

∴，故.

∵函数的定义域为，

当时， ，∴函数与的图象在其公共点处不存在公切线；

当时，令，

∵， ，

∴，即（）.

下面研究满足此等式的的值的个数：

设，则，且，方程化为，

分别画出和的图象，

当时， ， ，

由函数图象的性质可得和的图象有且只有两个公共点（且均符合），

∴方程有且只有两个根.

综上，当时，函数与的图象在其公共点处不存在公切线；当时，函数与的图象在其公共点处存在公切线，且符合题意的的值有且仅有两个.

点晴：本题主要考查了导数在函数中的综合应用问题，其中解答中涉及到了利用导数求解曲线在某点处的切线方程，利用导数研究函数的单调性，利用函数的性质解决不等式、方程问题，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中认真审题，注意导数在函数中的合理应用，试题有一定的难度，属于难题.