题目内容
【题目】一个几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图是腰长为6的等腰直角三角形，俯视图是正方形．
(1)请画出该几何体的直观图，并求出它的体积；
(2)用多少个这样的几何体可以拼成一个棱长为6的正方体ABCD—A1B1C1D1?如何组拼？试证明你的结论；
(3)在(2)的情形下，设正方体ABCD—A1B1C1D1的棱CC1的中点为E, 求平面AB1E与平面ABC所成二面角的余弦值．
【答案】（1）72；（2）见解析；（3）
【解析】试题分析：（1）先确定是一个四棱锥，再确定高与底面形状，最后代入锥体体积公式计算（2）由体积关系确定锥体个数，再进行配凑（3）根据投影可得二面角的余弦值为对应两个三角形面积之比
试题解析：(1)该几何体的直观图如图1所示，它是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥. 其中底面ABCD是边长为6的正方形，高PD＝6，故所求体积是V＝
×62×6＝72.
(2)依题意，正方体的体积是原四棱锥体积的3倍，故用3个这样的四棱锥可以拼成一个棱长为6的正方体，即由四棱锥D1－ABCD，D1－BB1C1C，D1－BB1A1A组成．其拼法如图2所示.
(3)因为△AB1E的边长AB1＝6
，B1E＝3
，AE＝9，所以S△AB1E＝27，而S△ABC＝18，所以平面AB1E与平面ABC所成二面角的余弦值为
＝
.
点睛:空间几何体体积问题的常见类型及解题策略
(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．
(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．
(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．
【题目】近年来许多地市空气污染较为严重，现随机抽取某市一年（365天）内100天的
空气质量指数（
）的监测数据，统计结果如表：
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空气质量 | 优 | 良 | 轻度污染 | 中度污染 | 重度污染 | 严重污染 |
天数 | 4 | 13 | 18 | 30 | 20 | 15 |
记某企业每天由空气污染造成的经济损失为
（单位：元），
指数为
.当
在区间
内时，对企业没有造成经济损失；当
在区间
内时，对企业造成的经济损失与
成直线模型（当
指数为150时，造成的经济损失为1100元，当
指数为200时，造成的经济损失为1400元）；当
指数大于300时，造成的经济损失为2000元.
（1）试写出
的表达式；
（2）试估计在本年内随机抽取1天，该天经济损失
大于1100且不超过1700元的概率；
（3）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，这30天中有8天为严重污染，完成
列联表，并判断是否有
的把握认为该市本年度空气严重污染与供暖有关？
非严重污染 | 严重污染 | 合计 | |
供暖季 | |||
非供暖季 | |||
合计 |
附：
| 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
，其中
