Question

2．已知曲线f（x）=$\frac{1}{3}$x³+ax²+3x-$\frac{5}{6}$（a＞-2）在点（1，f（1））处的切线l与坐标轴转成的三角形的面积为$\frac{2}{5}$．
（1）求实数a的值；
（2）若a＞0，且对?x₁，x₂∈[-1，1]，2${\;}^{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）-6}$＜$\root{3}{m}$恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程，分别令x=0，y=0，求得与x，y轴的交点，运用三角形的面积公式，解方程可得a的值；
（2）对?x₁，x₂∈[-1，1]，2${\;}^{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）-6}$＜$\root{3}{m}$恒成立，即为（2${\;}^{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）-6}$）_max＜$\root{3}{m}$，由f（x）在[-1，1]递增，可得最值，进而得到（2${\;}^{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）-6}$）_max，即可得到m的范围．

解答 解：（1）f（x）=$\frac{1}{3}$x³+ax²+3x-$\frac{5}{6}$的导数为f′（x）=x²+2ax+3，
在点（1，f（1））处的切线斜率为4+2a，切点为（1，a+$\frac{5}{2}$），
即有在点（1，f（1））处的切线方程为y-（a+$\frac{5}{2}$）=（4+2a）（x-1），
令x=0，得y=-a-$\frac{3}{2}$；由y=0，得x=$\frac{a+\frac{3}{2}}{4+2a}$，
则有三角形的面积为$\frac{1}{2}$•$\frac{（a+\frac{3}{2}）^{2}}{2a+4}$=$\frac{2}{5}$，
解方程可得a=$\frac{1}{2}$或a=-$\frac{19}{10}$；
（2）对?x₁，x₂∈[-1，1]，2${\;}^{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）-6}$＜$\root{3}{m}$恒成立，
即为（2${\;}^{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）-6}$）_max＜$\root{3}{m}$，
由f′（x）=x²+x+3＞0，即f（x）在[-1，1]递增，
即有f（x）的最大值为f（1）=3，最小值为f（-1）=-$\frac{11}{3}$，
可得f（x₁）-f（x₂）≤3-（-$\frac{11}{3}$）=$\frac{20}{3}$，
即有（2${\;}^{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）-6}$）_max=${2}^{\frac{20}{3}-6}$=${2}^{\frac{2}{3}}$，
即${2}^{\frac{2}{3}}$＜$\root{3}{m}$，解得m＞4．
则m的取值范围是（4，+∞）．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值和最值，考查函数恒成立问题的解法，注意转化为求函数的最值问题，考查单调性的运用，属于中档题．