Question

椭圆C：

x2

9

+

y2

4

=1，斜率为k的直线l与椭圆相交于点M，N，点A是线段MN的中点，直线OA（O为坐标原点）的斜率是k′，那么kk′=

-

4

9

．

Answer 1

分析：设出直线l与椭圆的两个交点的坐标，把子线l的斜率和OA的斜率用两点的坐标来表示，把两点的坐标代入椭圆方程，作差后整理即可得到答案．

解答：解：设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则k=

y1-y2

x1-x2

，k′=

y1+y2

x1+x2

．
因为M，N在椭圆上，所以

x12

9

+

y12

4

=1①

x22

9

+

y22

4

=1②
①-②得，

(x1+x2)(x1-x2)

9

=-

(y1+y2)(y1-y2)

4

．
则

y1-y2

x1-x2

•

y1+y2

x1+x2

=-

4

9

．
即kk′=-

4

9

．
故答案为-

4

9

．

点评：本题考查了直线与圆锥曲线的关系，涉及弦中点问题，常用的办法是点差法．此题是中档题．