Question

（2012•辽宁）如图，动圆C1：x2+y2=

t

2

，1＜t＜3与椭圆C₂：

x2

9

+y2=1相交于A，B，C，D四点，点A₁，A₂分别为C₂的左，右顶点．
（Ⅰ）当t为何值时，矩形ABCD的面积取得最大值？并求出其最大面积；
（Ⅱ）求直线AA₁与直线A₂B交点M的轨迹方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设A（x₀，y₀），则矩形ABCD的面积S=4|x₀||y₀|，由

x02

9

+y02=1得y02=1-

x02

9

，从而x02y02=x02( 1-

x02

9

)，由此可求矩形ABCD的面积的最大值；
（Ⅱ）由A（x₀，y₀），B（x₀，-y₀），A₁（-3，0），A₂（3，0），确定直线AA₁的方程，直线A₂B方程，利用y02=1-

x02

9

，即可求得直线AA₁与直线A₂B交点M的轨迹方程．

解答：解：（Ⅰ）设A（x₀，y₀），则矩形ABCD的面积S=4|x₀||y₀|
由

x02

9

+y02=1得y02=1-

x02

9

，从而x02y02=x02( 1-

x02

9

)=-

1

9

(x02-

9

2

)2+

9

4

∴x02=

9

2

，y02=

1

2

时，S_max=6
∴t=

5

时，矩形ABCD的面积取得最大值，最大面积为6；
（Ⅱ）由A（x₀，y₀），B（x₀，-y₀），A₁（-3，0），A₂（3，0），知直线AA₁的方程为y=

y0

x0+3

(x+3)①
直线A₂B方程为y=

-y0

x0-3

(x-3)②
由①②可得：y2=

-y02

x02-9

(x2-9)③
∵y02=1-

x02

9

④
∴④代入③可得

x2

9

-y2=1（x＜-3，y＜0）
∴直线AA₁与直线A₂B交点M的轨迹方程

x2

9

-y2=1（x＜-3，y＜0）．

点评：本题主要考查直线、圆、椭圆的方程，椭圆的几何性质，轨迹方程的求法，考查函数方程思想、转化思想、运算求解能力和推理论证能力，难度较大．