Question

【题目】如图，在四棱锥中，，，，，，．

（1）求证：平面平面；

（2）若为的中点，求证：平面；

（3）若与平面所成的角为，求四棱锥的体积．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）

【解析】

(1)先证明平面，再证明平面平面．（2）先证明，再证明平面.(3) 建立空间直角坐标系,利用向量法求得，即得a=1,再求四棱锥的体积.

（1）因为，所以，

又因为，所以平面．

所以平面平面．

（2）取的中点，连接，．

因为为的中点，所以，，

又因为，，

所以，．

所以四边形是平行四边形，．

又平面，平面，

所以平面．

（3）过作于，连接．

因为，所以为中点，又因为平面平面，

所以平面．

如图建立空间直角坐标系．

设．由题意得，，，，，．

所以 ， ， ．

设平面的法向量为，则

即

令，则．所以．

因为与平面所成角为，

所以,

解得．

所以四棱锥的体积．