Question

【题目】已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，左顶点为A，左焦点为，点在椭圆C上，直线与椭圆C交于E，F两点，直线AE，AF分别与y轴交于点M，N

Ⅰ求椭圆C的方程；

Ⅱ在x轴上是否存在点P，使得无论非零实数k怎样变化，总有为直角？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；(II)或．

【解析】

试题（Ⅰ）由题意可设椭圆标准方程为，结合已知及隐含条件列关于a，b，c的方程组，求解方程组得到的值，则椭圆方程可求；（Ⅱ）设F，E，写出AE、AF所在直线方程，求出M、N的坐标，得到以MN为直径的圆的方程，由圆的方程可知以MN为直径的圆经过定点（±2，0），即可判断存在点P

试题解析：（Ⅰ）解法一：设椭圆的方程为，

因为椭圆的左焦点为，所以．

设椭圆的右焦点为，已知点在椭圆上，

由椭圆的定义知，所以．

所以，从而．

所以椭圆的方程为．

解法二：设椭圆的方程为，

因为椭圆的左焦点为，所以．①

因为点在椭圆上，所以． ②

由①②解得，，．

所以椭圆的方程为．

（Ⅱ）解法一：因为椭圆的左顶点为，则点的坐标为．

因为直线与椭圆交于两点，，

设点（不妨设），则点．

联立方程组消去得．

所以，．

所以直线的方程为．

因为直线与轴交于点，

令得，即点．

同理可得点．

假设在轴上存在点，使得为直角，则．

即，即．

解得或．

故存在点或，无论非零实数怎样变化，总有为直角．

解法二：因为椭圆的左顶点为，则点的坐标为．

因为直线与椭圆交于两点，，

设点（），则点．

所以直线的方程为．

因为直线与轴交于点，

令得，即点．

同理可得点．

假设在轴上存在点，使得为直角，则．

即，即．

解得或．

故存在点或，无论非零实数怎样变化，总有为直角．