Question

如图，椭圆E：的左焦点为F₁，右焦点为F₂，离心率e=．过F₁的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF₂的周长为8．
（Ⅰ）求椭圆E的方程．
（Ⅱ）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相较于点Q．试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根据过F₁的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF₂的周长为8，可得4a=8，即a=2，利用e=，b²=a²-c²=3，即可求得椭圆E的方程．
（Ⅱ）由，消元可得（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0，利用动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P（x，y），可得m≠0，△=0，进而可得P（，），由得Q（4，4k+m），取k=0，m=；k=，m=2，猜想满足条件的点M存在，只能是M（1，0），再进行证明即可．
解答：解：（Ⅰ）∵过F₁的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF₂的周长为8．
∴4a=8，∴a=2
∵e=，∴c=1
∴b²=a²-c²=3
∴椭圆E的方程为．
（Ⅱ）由，消元可得（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0
∵动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P（x，y）
∴m≠0，△=0，∴（8km）²-4×（4k²+3）×（4m²-12）=0
∴4k²-m²+3=0①
此时x==，y=，即P（，）
由得Q（4，4k+m）
取k=0，m=，此时P（0，），Q（4，），以PQ为直径的圆为（x-2）²+（y-）²=4，交x轴于点M₁（1，0）或M₂（3，0）
取k=，m=2，此时P（1，），Q（4，0），以PQ为直径的圆为（x-）²+（y-）²=，交x轴于点M₃（1，0）或M₄（4，0）
故若满足条件的点M存在，只能是M（1，0），证明如下
∵
∴
故以PQ为直径的圆恒过x轴上的定点M（1，0）
点评：本题主要考查抛物线的定义域性质、圆的性质、直线与圆锥曲线的位置关系，考查运算能力，考查化归思想，属于中档题．