Question

【题目】如图1，在等腰梯形中，，，，为的中点.现分别沿，将和折起，点折至点，点折至点，使得平面平面，平面平面，连接，如图2.

（Ⅰ）若、分别为、的中点，求证：平面平面；

（Ⅱ）求多面体的体积.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.

【解析】

（1）取中点，连，由已知可得，，为正三角形，

，可得平面，平面，

平面，从而有，即可证明结论.

（2），只需求出到平面的距离，由（1）得点到平面的距离等于点到平面的距离为，即可求出结论.

（1）取中点，连，

∵、是和的中点，∴，

又∵平面，平面，

∴平面，

在图1等腰梯形中，，，

，，，

，同理

，，为正三角形，

∴.

又∵平面平面，平面平面，

平面，∴平面，

同理可证平面，

又∵平面，平面，

∴平面，

∵，平面，平面，

∴平面平面；

（Ⅱ）连接，作于，

由（Ⅰ）得，平面，

∴点到平面的距离等于点到平面的距离，

等于点到平面的距离的，

∴，

则.