题目内容
【题目】已知离心率为
的椭圆
经过抛物线
的焦点
，斜率为1的直线
经过
且与椭圆交于
两点.
（1）求
面积；
（2）动直线
与椭圆有且仅有一个交点，且与直线
分别交于
两点，
为椭圆的右焦点，证明
为定值.
【答案】（1）
（2）见解析
【解析】
（1）由抛物线方程求出焦点
的坐标，再根据椭圆的简单几何性质即可求出椭圆方程，将直线
与椭圆的方程联立，求出弦长
，由点到直线的距离公式求出原点
到直线
的距离
，即可根据三角形面积公式
求出面积；
（2）根据题意可知直线
的斜率存在，设直线的方程为：
，与椭圆方程联立，根据
可得
的关系，再根据两点间的距离公式分别求出
，即可计算出
为定值．
（1）因为焦点
，代入得
，
，解得
，
∴
，
∵直线的斜率为1，且经过
，则直线方程为，
联立
解得
或
∴
，
∴
，又原点到直线的距离为
，
∴
.
（2）根据题意可知直线的斜率存在，可设直线的方程为：，联立
，
可得
，整理可得
，
可知
，
，
，
则
为定值.
【题目】为推动实施健康中国战略，树立国家大卫生、大健康概念，手机APP也推出了多款健康运动软件，如“微信运动”，杨老师的微信朋友圈内有
位好友参与了“微信运动”，他随机选取了
位微信好友（女
人，男人），统计其在某一天的走路步数，其中，女性好友的走路步数数据记录如下：
5860 | 8520 | 7326 | 6798 | 7325 | 8430 | 3216 | 7453 | 11754 | 9860 |
8753 | 6450 | 7290 | 4850 | 10223 | 9763 | 7988 | 9176 | 6421 | 5980 |
男性好友走路的步数情况可分为五个类别：
步（说明“
”表示大于等于
，小于等于
，下同），
步，
步，
步及以上，且
三种类别人数比例为
，将统计结果绘制如图所示的条形图，若某人一天的走路步数超过
步被系统认定为“卫健型”，否则被系统认定为“进步型”.
（1）若以杨老师选取的好友当天行走步数的频率分布来估计所有微信好友每日走路步数的概率分布，请估计杨老师的微信好友圈里参与“微信运动”的名好友中，每天走路步数在
步的人数；
（2）请根据选取的样本数据完成下面的
列联表并据此判断能否有
以上的把握认定“认定类型”与“性别”有关？
卫健型 | 进步型 | 总计 | |
男 | 20 | ||
女 | 20 | ||
总计 | 40 |
附：
，
| 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 |
| 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
