Question

2．已知抛物线y²=2px（p＞0）上一点M（1，m）到其焦点F的距离为3，椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞2）的左顶点为A，若MA⊥MF，那么a=（　　）

• A． 49
• B． 16
• C． 7
• D． 5

Answer 1

分析 求出抛物线的焦点和准线方程，运用抛物线的定义，可得p=4，进而得到抛物线方程和焦点坐标，M的坐标，求得椭圆的左顶点，运用向量垂直的条件解方程可得a=7．

解答 解：抛物线y²=2px的焦点为（$\frac{p}{2}$，0），
准线方程为x=-$\frac{p}{2}$，
由抛物线的定义可得，
1+$\frac{p}{2}$=3，
解得p=4，
即有抛物线方程为y²=8x，
令x=1，可得m=±2$\sqrt{2}$，
即有M（1，±2$\sqrt{2}$），
椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1（a＞2）的左顶点为A，
即有A（-a，0），
又F（2，0），
若MA⊥MF，则$\overrightarrow{MA}$⊥$\overrightarrow{MF}$，
即有$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MF}$=0，
$\overrightarrow{MA}$=（-a-1，$±2\sqrt{2}$），$\overrightarrow{MF}$=（1，$±2\sqrt{2}$），
则-（1+a）+8=0，
解得a=7．
故选C．

点评 本题考查抛物线的定义、方程和性质，主要考查定义的运用，同时考查椭圆的几何性质，属于基础题．