Question

4．已知等比数列{a_n}满足：${a_1}=\frac{1}{2}，2{a_3}={a_2}$
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若等差数列{b_n}的前n项和为S_n，满足b₁=1，S₃=b₂+4，求数列{a_n•b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）求得等比数列的公比q，由等比数列的通项公式计算即可得到；
（2）求出等差数列{b_n}的公差d，运用等差数列的通项公式，可得b_n，求得a_n•b_n=n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，再由数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理即可得到所求和．

解答 解：（1）等比数列{a_n}满足：${a_1}=\frac{1}{2}，2{a_3}={a_2}$，
可得公比q=$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$=$\frac{1}{2}$，
数列{a_n}的通项公式为a_n=a₁q^n-1=（$\frac{1}{2}$）ⁿ；
（2）等差数列{b_n}的前n项和为S_n，满足b₁=1，S₃=b₂+4，
设公差为d，则3+3d=5+d，解得d=1，
则b_n=b₁+（n-1）d=n，
a_n•b_n=n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
前n项和T_n=1•（$\frac{1}{2}$）+2•（$\frac{1}{2}$）²+…+n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
$\frac{1}{2}$T_n=1•（$\frac{1}{2}$）²+2•（$\frac{1}{2}$）³+…+n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，
两式相减可得，$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{2}$+（$\frac{1}{2}$）²+（$\frac{1}{2}$）³+…+（$\frac{1}{2}$）ⁿ-n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹
=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，
化简可得T_n=2-（n+2）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ．

点评 本题考查等比数列和等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的求和方法：错位相减法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．