Question

设命题p：曲线y=e^-x在点（-1，e）处的切线方程：y=-ex；命题q：函数y=sinx+

4

sinx

（0＜x＜π）值域为[4，+∞），则下列判断正确的是（　　）

• A、“p∨q”为真
• B、“￢p∨q”为真
• C、“￢p∧q”为真
• D、“￢p∧￢q”为真

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：函数的性质及应用,三角函数的求值,不等式的解法及应用

分析：本题可以先对命题p、q进行化简转化，从而判断出其真假，再根据复合函数真假判断的规律，得到正确选项．

解答： 解：∵y=e^-x，
∴y′=-e^-x．
∴当x=-1时，y=e，k=y′=-e．
∴曲线y=e^-x在点（-1，e）处的切线方程为y-e=-e（x+1），
∴曲线y=e^-x在点（-1，e）处的切线方程：y=-ex，
∴命题p为真命题
∵y=sinx+

4

sinx

（0＜x＜π），
∴可设sinx=t，
则y=t+

4

t

，（0＜t≤1）．
∴y′=1-

4

t2

=

t2-4

t2

＜0．
∴y=t+

4

t

在区间（0，1]上单调递减．
当t=1时，函数有最小值y=5．
∴函数y=sinx+

4

sinx

（0＜x＜π）值域为[5+∞）．
∴命题q：函数y=sinx+

4

sinx

（0＜x＜π）值域为[4，+∞），不成立．
∴命题q为假命题．
∴命题p∨q为真命题．
故选A．

点评：本题考查了利用导函数求切线、由单调性求函数值域以及复合命题真假的判断等知识，有一定的运算量，属于中档题．