Question

直线x＝1与抛物线C：y²＝4x交于M，N两点，点P是抛物线C准线上的一点，记＝a＋b(a，b∈R)，其中O为抛物线C的顶点．

(1)当与平行时，b＝________；

(2)给出下列问题：

①∀a，b∈R，△PMN不是等边三角形；

②∃a＜0且b＜0，使得与垂直；

③无论点P在准线上如何运动，a＋b＝－1总成立．

其中，所有正确命题的序号是________．

Answer 1

(1)－1　(2)①②③

[解析]　(1)当与平行时，根据图形的对称知原点O为线段PN的中点，则＝－，所以b＝－1.

(2)若△PMN为等边三角形，则P点为准线x＝－1与x轴的交点，由题意P(－1,0)，可取M(1,2)，N(1，－2)，|MN|＝4，则|PM|＝|PN|＝2≠|MN|，故①正确；设P(－1，y)，令则(－1，y)·(1，－2)＝0，即y＝－，则解得a＝－，b＝－，故②正确；根据图形的对称性知，点P关于原点的对称点Q必在直线MN上，则＝由于点M，N，Q三点共线，则(－a)＋(－b)＝1，即a＋b＝－1，故③正确．综上可知，①②③正确．